Question 48: How many integer values ​​of parameter m are there for the function (y = {x^8} + left( {m – 2} right){x^5} – left( {{m^) 2} – 4} right){x^4} + 1) is minimized at x = 0

We have \(y = {x^8} + \left( {m – 2} \right){x^5} – \left( {{m^2} – 4} \right){x^4} + 1 \Rightarrow y’ = 8{x^7} + 5\left( {m – 2} \right){x^4} – 4\left( {{m^2} – 4} \right){x^ 3}\).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {8{x^4} + 5\left( {m – 2} \right)x – 4\left( {{m^2} – 4)) } \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5\left( {m – 2} \right)x – 4\left( {{m^2} – 4} \right) = 0\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 8{x^4} + 5\left( {m – 2} \right)x – 4\left( {{m^2} – 4} \right)\) có \(g’\left( x \right) = 32{x^3} + 5\left( {m – 2} \right)\).

Ta thấy \(g’\left( x \right) = 0\) có một nghiệm nên \(g\left( x \right) = 0\) có tối đa hai nghiệm

+ TH1: Nếu \(g\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x = 0 \Rightarrow m = 2\) hoặc m = – 2

Với m = 2 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của \(g\left( x \right)\). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = 2 thỏa ycbt.

Với m = – 2 thì \(g\left( x \right) = 8{x^4} – 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt[3]{{\frac{5}{2}}}\end{array} \right.\).

Variation table

Based on BBT x = 0 is not the minimum point of the function. So m = – 2 does not satisfy ycbt.

+ TH2: \(g\left( 0 \right) \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\). Let the function be minimized at \(x = 0 \Leftrightarrow g\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow – 2 < m < 2\).

So \(m \in \left\{ { – 1;0;1} \right\}\).

So in both cases we get 4 integer values ​​of m that satisfy ycbt.